『学习笔记』微分：

定义： 函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，且 $x_0 + \Delta x$ 在该邻域内，函数增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，若存在与 $\Delta x$ 无关的常数 $A$，使得 $\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$，其中 $o(\Delta x)$ 是在 $\Delta x \to 0$ 时比 $\Delta x$ 更高阶的无穷小，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微。记作 $\left. dy \right|_{x = x_0} = A\Delta x = A dx$。

可微条件：可导，一元函数可微 $\Leftrightarrow$ 可导。

微分公式：

  • $d(u \pm v) = du \pm dv$

  • $d(cu) = c \, du$

  • $d(uv) = u \, dv + v \, du=(uv)’dx$

  • $d\left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \, du - u \, dv}{v^2}=\left (\frac{u}{v} \right)’dx$

复合函数：$y = f(u),\ u = g(x)$，$dy = y’_x dx = f’(u)g’(x)dx = f’(u)du$

近似计算：$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f(x_0)’\cdot \Delta x$

在 $|x|$ 比较小时，有以下结论：

$\sin x \approx x$，$\tan x\approx x$，$e^x\approx 1+x$，$\ln_{1+x}\approx x$，$(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha\cdot x$

微分中值定理：

费马引理：$f(x)$ 在 $x_0$ 的 $v(x_0)$ 有定义，在 $x_0$ 处可导，$\forall x\in v(x_0),f(x)\le f(x_0)$，或 $f(x)\ge f(x_0)$，那么 $f(x_0)’=0$。

证明: $x \in v(x_0), f(x) \leq f(x_0)$，$x_0+\Delta x \in v(x_0),f(x_0+\Delta x) \leq f(x_0)$

  • $\Delta x>0$ $f’_+(x_0)=\lim \limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\ \le 0}{\Delta\ x>0} \leq 0$
  • $\Delta x<0$ $f’_-(x_0)=\lim \limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\ \le0}{\Delta x\ <0} \geq 0$

因 $f(x)$ 在 $x_0$ 可导，故 $f’_+(x_0)=f’_-(x_0)=f’(x_0)$，由夹逼定理得 $f’(x_0)=0$，证毕！

罗尔定理：$f(x)$ 满足 Ⅰ：在 $[a,b]$ 连续，Ⅱ：在 $(a,b)$ 可导，Ⅲ：$f(a)=f(b)$，那么至少存在一点 $\xi $，满足 $f(\xi)’=0$。

  • 若 $f(x)$ 为常函数，则 $f’(x)=0$ 对任意 $x \in (a,b)$ 成立
  • 若 $f(x)$ 非恒常，因闭区间连续必有最值，且 $f(a)=f(b)$，故最值至少一个在 $(a,b)$ 内取到，设 $\xi \in (a,b)$ 是极值点

对极值点 $\xi$:

  • $\Delta x > 0$，$f(\xi+\Delta x) \leq f(\xi)$，$f’_+(\xi)=\lim \limits_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(\xi+\Delta x)-f(\xi)}{\Delta x} \leq 0$
  • $\Delta x < 0$，$f(\xi+\Delta x) \leq f(\xi)$，$f’_-(\xi)=\lim \limits_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(\xi+\Delta x)-f(\xi)}{\Delta x} \geq 0$

因 $f(x)$ 在 $\xi$ 可导，故 $f’_+(\xi)=f’_-(\xi)=f’(\xi)$，由夹逼定理得 $f’(\xi)=0$，证毕！

拉格朗日中值定理：$f(x)$ 满足在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，那么至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，满足 $f(b)-f(a)=f(\xi)’(b-a)$

证明：构造辅助函数：记连接 $(a,f(a))$ 与 $(b,f(b))$ 的直线方程为 $L(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，

定义：$F(x)=f(x)-L(x)=f(x)-\left[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right]$

容易发现 $F(x)$ 满足罗尔定理：

  • 连续性：$L(x)$ 为连续一次函数，故 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 连续
  • 可导性：$L’(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，故 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 可导，且 $F’(x)=f’(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$；
  • 端点等值：$F(a)=F(b)=0$。

综上，存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $F’(\xi)=0$，代入 $F’(x)$ 得：$f’(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$ 即$f’(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

柯西中值定理：$f(x),g(x)$ 满足在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，那么 $\exists \xi \in(a,b)$，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g’(\xi)=f’(\xi)$，如果 $g’(\xi)\ne 0$，可改写为 $\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

证明：因为 $g(a) \neq g(b)$，所以构造辅助函数：$F(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}g(x)$

容易发现 $F(x)$ 满足罗尔定理：

  • 连续性：在闭区间 $[a, b]$ 上连续
  • 可导性：在开区间 $(a, b)$ 上可导
  • 端点等值：$F(a) = F(b) = \frac{g(b)f(a) - g(a)f(b)}{g(b) - g(a)}$

综上，$\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $F’(\xi) = 0$，即：$\left. F’(x) \right|_{x = \xi} = f’(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}g’(\xi) = 0$

整理得：$\boxed{\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}g’(\xi) = f’(\xi)}$ 若 $g’(\xi) \neq 0$，则有：$\boxed{\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}}$

定理Ⅰ：$f(x)$ 在 $I$ 连续，$I$ 内可导且导数恒为 $0$，则 $f(x) \equiv C$

证明：$\forall x_1,x_2 \in I$，$x_1 < x_2$，由拉格朗日中值定理，$\exists \xi \in (x_1,x_2)$，满足 $f(x_2) - f(x_1) = f’(\xi)(x_2 - x_1)$ 所以 $f(x_2) = f(x_1)$ 、即 $f(x) \equiv C$

定理Ⅱ：当 $x > 0$ 时，$\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x$

证明：$f(t) = \ln(1 + t)$，在 $[0, x]$ 用拉格朗日中值定理，$\exists \xi \in (0, x)$ $0 < \xi < x$，$f(x) - f(0) = f’(\xi)(x - 0)$，$f(0) = 0$，$f’(\xi) = \frac{1}{1 + \xi}$ 所以，$\ln(1 + x) = \frac{x}{1 + \xi}$

由 $1 < 1 + \xi < 1 + x$，得 $\frac{x}{1 + x} < \frac{x}{1 + \xi} < \frac{x}{1}$，即 $\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x$。

洛必达法则！

$\dfrac{0}{0},\dfrac{\infty}{\infty}$ 称为不定式。

  1. $x \to a$，$f(x) \to 0$，$F(x) \to 0$
  2. 在 $a$ 的去心邻域内，$f’(x)$，$F’(x)$ 存在且 $F’(x) \neq 0$
  3. $\lim\limits_{x \to a} \frac{f’(x)}{F’(x)}$ 存在（或无穷大）

则 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{F(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f’(x)}{F’(x)}$

泰勒公式：

$P_n(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + \cdots + a_n(x - x_0)^n$

$f(x)$在$x_0$处有$n$阶导数：

  • $x_0$处：$f(x_0) = a_0$，$a_0 = f(x_0)$
  • 一阶：$f’(x)$，$P_n’(x) = a_1 + 2a_2(x - x_0) + \cdots + n a_n(x - x_0)^{n - 1}$，$a_1 = f’(x_0)$
  • 二阶：$f’’(x)$，$P_n’’(x) = 2a_2 + \cdots + n(n - 1)a_n(x - x_0)^{n - 2}$，$2a_2 = f’’(x_0)$，$a_2 = \frac{f’’(x_0)}{2}$
  • $n$阶：$f^{(n)}(x)$，$P_n^{(n)}(x) = n! a_n$，$a_n n! = f^{(n)}(x_0)$，$a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$

泰勒中值定理：$f(x)$ 在 $x = x_0$ 有 $n$ 阶导数，存在 $x_0$ 的一个邻域，$x \in U(x_0)$

$f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0) + \frac{f’’(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$

  • 佩亚诺余项：$R_n(x) = o((x - x_0)^n)$
  • 拉格朗日余项：$R_n(x) = \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!}(x - x_0)^{n + 1}$ $\xi$：$x_0, x$ 之间

$n=0$，$f(x)=f(x_0)+f’(\xi)(x - x_0)\Rightarrow f(x)-f(x_0)=f’(\xi)(x - x_0)$（拉格朗日中值定理）

$x_0 = 0$，$f(x) = f(0) + f’(0)x + \frac{f’’(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$ （麦克劳林公式）

容易证明以下展开式：

$\displaystyle e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},\quad x \in \mathbb{R}$

$\displaystyle\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + R_{2m}(x)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x \in \mathbb{R}$

$\displaystyle\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + R_{2m + 1}(x)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x \in \mathbb{R}$

$\displaystyle\ln(1+x)=x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + R_n(x)= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n},\quad |x| \leq 1 \ (\text{且} \ x \neq -1)$

$\displaystyle(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n + R_n(x)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n, \quad |x| < 1$

函数单调性

$f’(x)>0$ 单调增；$f’(x)<0$ 单调减。

凸凹性拐点

凹函数：$f(\dfrac{x_1+x_2}2)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$；凸函数：$f(\dfrac{x_1+x_2}2)>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

凹凸判定定理：

$f(x)$在$[a, b]$连续，$(a, b)$有一阶、二阶导数

  • $(a, b)$，$f’’(x) > 0$，凹函数
  • $(a, b)$，$f’’(x) < 0$，凸函数

证明：取 $x_0 \in (a, b)$，由泰勒公式：$f(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2} f’’(\xi)(x - x_0)^2, \quad \xi \text{ 在 } x_0 \text{ 与 } x \text{ 之间}$

其中切线方程为 $L(x) = f(x_0) + f’(x_0)(x - x_0)$。

  • 若 $f’’(\xi) > 0$，则 $f(x) - L(x) = \frac{1}{2} f’’(\xi)(x - x_0)^2 \geq 0$，即 $f(x) \geq L(x)$，曲线在切线上方，故凹；
  • 若 $f’’(\xi) < 0$，则 $f(x) - L(x) = \frac{1}{2} f’’(\xi)(x - x_0)^2 \leq 0$，即 $f(x) \leq L(x)$，曲线在切线下方，故凸。

由 $x_0$ 任意性，结论成立。

拐点：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内连续，若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处凹凸性发生改变（即 $f’’(x)$ 在 $x_0$ 两侧异号），则称点 $(x_0, f(x_0))$ 为曲线 $y = f(x)$ 的拐点。

存在 $\delta > 0$，使得

  • 当 $x \in (x_0 - \delta, x_0)$ 时，$f’’(x) > 0$（或 $< 0$），

  • 当 $x \in (x_0, x_0 + \delta)$ 时，$f’’(x) < 0$（或 $> 0$），

则 $(x_0, f(x_0))$ 为拐点。

极值：

$f(x)$，$U(x_0)$ 有定义，对$x \in \mathring{U}(x_0)$ $f(x) < f(x_0)$（$f(x) > f(x_0)$，$f(x_0)$ 为极大值（极小值）

第一充分条件：$f(x)$ 在 $x_0$ 连续，在 $\mathring{U}(x_0)$ 可导

  1. $x \in (x_0 - \delta, x_0)$，$f’(x) > 0$；$x \in (x_0, x_0 + \delta)$，$f’(x) < 0$，$x_0$处极大值
  2. $x \in (x_0 - \delta, x_0)$，$f’(x) < 0$；$x \in (x_0, x_0 + \delta)$，$f’(x) > 0$，$x_0$处极小值
  3. $x \in \mathring{U}(x_0)$，$f’(x)$符号不变，不是极值

第二充分条件：$f(x)$在$x_0$有二阶导数，$f’(x_0) = 0$，$f’’(x_0) \neq 0$

  1. $f’’(x_0) < 0$，在$x_0$处取极大值
  2. $f’’(x_0) > 0$，在$x_0$处取极小值

最值：在 $[a,b]$ 最大，最小

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 不可导点有限个。

曲率：

$k = \dfrac{|y’’|}{(1 + (y’)^2)^{\frac{3}{2}}}$