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「学习笔记」图论入门算法 本文主要介绍了一些图论的简单入门算法，并附带模板和例题。 主要包括：图论概念，拓扑排序，最短路，双连通分量，强连通分量，最小生成树，拟阵 难度由浅入深，适合 $普及 \sim 提高$ 的选手观看，也欢迎新手来入门，大佬来指导！ $\mathcal{Part \ 1}$：一些概念：图：一张图 $G$ 由点和边构成，点集为 $V$，边集为 $E$，记 $G=(V,E)$。若无特殊说明，$V = {1,2,\dots,n}$，$|E| = m$。 阶：图的点数 $n$，记作 $|G|$。 有向图与无向图：无向图中 $e \in E$ 没有方向，记作 $e=(u,v)$，为无序对。有向图中 $e \in E$ 有方向，记作 $e = u \to v$ 或有序对 $(u,v)$。 重边与自环：$E$ 中完全相同的两条边称为重边，连接相同点的边称为自环。 相邻：若 $(u,v) \in E$ 则称 $u,v$ 相邻。 邻边 / 出边 / 入边：无向图中与 $u$ 相连的边 $(u,v)$ 称为 $u$ 的邻边；有向图中从 $u$ 出发的边 $ ...

『学习笔记』不定积分原函数：$F(x)’=f(x)$，$F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数。 原函数存在：$f(x)$ 在 $I$ 连续，$\exists $ 可导函数 $F(x)$，$F’(x)=f(x)$ $\left(F(x)+C\right)’ = f(x)$ $F’(x) = f(x)$，$\varPhi’(x) = f(x)$，$\left(F(x)-\varPhi(x)\right)’ = F’(x)-\varPhi’(x) = f(x)-f(x) \equiv 0$，$F(x)-\varPhi(x) \equiv C$ 不定积分定义: $f(x)$ 的原函数的全体： 记作：$\displaystyle\int {f(x)} dx$。若：$F’(x) = f(x)$，$\boxed{\displaystyle\int f(x) dx = F(x) + C}$ 公式（显而易见）： $\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\int f(x)dx\right) = f(x)$ $\displaystyle d\left[\int f(x ...

『学习笔记』导数 导数：函数上某一点切线的斜率。 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，$x$ 在 $x_0$ 取增量 $\Delta x$， $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。 $f’(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 符号：$y’\big|_{x=x_0}$，$\frac{dy}{dx}\big|_{x=x_0}$，$\frac{df(x)}{dx}\big|_{x=x_0}$ 定义一：$\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \Leftrightarrow \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 定义二：$\lim\limits_{x\to x_0} \frac{ ...

『学习笔记』微分：定义： 函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，且 $x_0 + \Delta x$ 在该邻域内，函数增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，若存在与 $\Delta x$ 无关的常数 $A$，使得 $\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$，其中 $o(\Delta x)$ 是在 $\Delta x \to 0$ 时比 $\Delta x$ 更高阶的无穷小，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微。记作 $\left. dy \right|_{x = x_0} = A\Delta x = A dx$。 可微条件：可导，一元函数可微 $\Leftrightarrow$ 可导。 微分公式： $d(u \pm v) = du \pm dv$ $d(cu) = c \, du$ $d(uv) = u \, dv + v \, du=(uv)’dx$ $d\left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \, du - u \, d ...